livelogic

Category:

Доказательство через следствие

Доказательство через следствие используется тогда, когда нужно доказать недоказуемое.

В средней школе проходят разные теоремы геометрии, например, теорему Пифагора — квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух катетов. Теорема дается не просто так, поспешным мимоходом, наоборот — учащиеся неторопливо поднимаются к ней по петляющей тропе геометрических  доказательств  от самого начала, т.е. от аксиом Евклида.

Euclid's "Elements," written about 300 B.C
Euclid's "Elements," written about 300 B.C

На этом пути с учениками случаются всякие задания, после их завершения детские ручонки по всему миру старательно выводят три волнительные буквы: «Ч.Т.Д.»*. Этот вид доказательств — с помощью дедуктивных умозаключений — считается надежным и обычно вопросов не вызывает.

С теоремами понятно, но как быть с аксиомами геометрии, к ним ведь нет надежных логических путей, да неужто они равноправны с любым другим недоказанным утверждением?! Схожую ситуацию имеем с «наномиром». Многим известно, что «вещество состоит из атомов и молекул», тут вроде бы «наука доказала», но как она это сделала? Слово известному американскому физику Ричарду Фейнману:

Ричард Фейнман
Ричард Фейнман
Хочу остановиться теперь коротко на идее Гейзенберга, согласно которой не нужно говорить о том, что все равно нельзя измерить. Дело в том, что об этом толкуют многие, по-настоящему не понимая смысла этого утверждения. Его можно интерпретировать следующим образом: ваши теоретические построения или открытия должны быть такими, чтобы выводы из них можно было сравнивать с результатами эксперимента, т. е. чтобы из них не получилось, что "один тук равняется трем нукам", причем никто не знает, что такое эти самые тук и нук.

Ясно, что так дело не пойдет. Но если теоретические результаты можно сравнить с экспериментом, то это все, что нам требовалось.

Это вовсе не значит, что ваши туки и нуки не могут появляться в первоначальной гипотезе. Вы можете впихнуть в вашу гипотезу сколько угодно хлама при условии, что ее следствия можно будет сравнить с результатами экспериментов.

Pичард Фейнман. В поисках новых законов

Очень красивая и честная формулировка, лучше не скажет даже Поппер.  

Итак, мы воображаем, что внутри сосуда вовсе не газ, нет - сосуд наполнен сонмом маленьких летающих чебурашек. Они стремительно носятся  туда-сюда, стукаясь о стенки, и это немое кино отвечает изумленным зрителям на вопрос «почему газ давит». На данном этапе это «мусор», но, сделав ряд предположений про свойства чебурашек можно получить уравнения, применимые в макромире, выполнить вычисления и сравнить следствия из предположения про чебурашек с экспериментом. В качестве примера такого уравнения приведу уравнение Ван-дер-Ваальса. Это неплохой аргумент в пользу того, что возня с аксиоматическими «туками и нуками» в виде чебурашек была затеяна не зря.

С геометрией ситуация аналогична — каждый раз, делая ремонт и вычисляя количества/объемы/длины, соответствующие хитроумным контурам жилых помещений, мы проверяем аксиомы гометрии «по следствиям».


Не всегда такая процедура завершается успехом, иногда «доказательства по следствию» имеют фатальные логические изьяны, см. Первый догмат Ньютона. Вообще, введение воображаемых «туков и нуков» можно как-то терпеть, если речь идет про «наномир». Но совершенно непонятно, зачем «туки и нуки» появляются в механике в виде неких «ИСО». Ладно, ввели эти самые «ИСО», но вот незадача — найти их, используя текст «первого закона», невозможно.

Ясно, что так дело не пойдет. (с) Ричард Фейнман


Со «вторым законом» Ньютона ситуация не такая очевидная, иногда он записывается в таком виде:

Это могло БЫ быть законом, и его можно было БЫ доказать (или опровергнуть) «по следствию», но нет — определение силы в метрологии превращает закон в банальное определение:

Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности, М.: Наука, 1969. c. 100
Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности, М.: Наука, 1969. c. 100

К чему это приводит хорошо видно на примере с определением скорости:

Скорость - это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.

Это определение можно использовать, например, можно взять определенный интеграл от скорости по времени и найти путь:

Но вот опровергнуть или доказать определение скорости нельзя. Что бы ни случилось, скорость всегда есть «расстояние, деленное на время». Рассмотрим стандартную задачу:

Мюллер ехал на «хорьхе» из Берлина в Париж со скоростью 100 км/ч. Рядом бежал Штирлиц, и делал вид, что прогуливается. За какое время Мюллер и Штирлиц достигнут Парижа, если расстояние между этими городами равно 1100 километров?

Понятно, что ответ — 11 часов. Вообразим — мы сделали проверочный эксперимент, и на самом деле потребовалось 14 часов. Отбрасываем определение скорости? Нет, нет и еще раз нет, проблему мы будем искать в другом месте. Либо врет спидометр у «хорьха», либо расстояние между Берлином и Парижем не 1100 км, либо что-то еще. Но определение скорости незыблемо.

Точно так же незыблемо определение силы в 1 «ньютон» через сообщение массе в 1 кг  ускорения в 1 м/с/с. Это не доказывается и не опровергается.

Ну и так, к слову — используя первые два «закона» можно проводить лишь очень и очень ограниченные вычисления, которые сводятся к расчетам вокруг скорости изменения импульса.


Заключение

  • «Доказательство через следствие» является мощным и широко используемым инструментом в науке
  • К современным формулировкам первого и второго «законов Ньютона» этот вид доказательства неприменим
  • Первый «закон» это вообще непонятно, что такое, второй «закон» является не законом, а определением

Примечания

* Иные пишут Q.E.D. — quod erat demonstrandum. Наверняка есть и другие варианты


Error

Anonymous comments are disabled in this journal

default userpic

Your reply will be screened

Your IP address will be recorded